抽象代数 · 第14讲 · 群对集合的作用 I

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◎学习目标

掌握群作用的抽象定义：群 $G$ 对集合 $S$ 的左作用的两条公理（单位元不动、结合性）；
理解 $G$-集合的含义：一个配备了 $G$ 的左作用的集合；
能验证三个基本例子确实是群作用：群对自身的左平移、共轭作用、群对陪集集 $G/H$ 的左作用；
掌握轨道 $\mathcal{O}(x) = G \cdot x$ 的定义，理解它是 $S$ 的子集合；
掌握稳定子群 $G_x = \{\,g \in G \mid g x = x\,\}$ 的定义，并能证明它是 $G$ 的子群；
理解「两个轨道的交集非空则轨道相同」的命题，以及轨道把 $S$ 划分为不相交的子集合（与陪集分解的思想完全平行）。

0课程引言 ⏱ 00:00

本讲起进入群对集合的作用这一主题。
这部分内容在后面两个方向上都有非常重要的作用：
- 证明 Zorn 定理（极大元存在性定理，一般指群论中的版本——本课程的上下文是后面证明某些结构定理时用到）；
- 研究群的结构本身（后面轨道—稳定子群定理、Burnside 引理、群作用下的不动点计数等都会用到）。
本讲只做基本定义和最基本的例子，先建立「什么是群作用」这个概念本身；下一讲会在此基础上引入轨道—稳定子群定理等重要结论。

背景 · 与前面课程的衔接前面几讲我们学了群的定义、子群、正规子群、陪集、商群、同态、同构等。群作用把「群」与「任意集合」通过一个映射 $(g, s) \mapsto g \cdot s$ 连接起来，是代数结构最一般、最强大的组织方式之一。

1群作用与 $G$-集合的定义 ⏱ 00:39

1.1 集合与群的关系

前面学过：一个群是「一个集合 + 一个满足公理的运算」。而一个集合本身没有代数结构（只是元素堆在一起）。我们现在要研究群对一个集合的作用。特别地，若把这个集合也取成一个群也完全没有问题——任何一个群都可以被「退化」看作它的底层集合，因此后面会出现「群对群的作用」的例子。

1.2 群作用的抽象定义

定义 · 群 $G$ 在集合 $S$ 上的左作用设 $G$ 为群，$S$ 为一个集合。若存在一个二元运算

G \times S \longrightarrow S, \qquad (g, s) \longmapsto g \cdot s

满足下列两个条件，则称这是一个群 $G$ 在 $S$ 上的（左）作用，简称 群作用：

单位元不动：对任意 $s \in S$， $1_G \cdot s = s.$ 即群的单位元作用在任何元素上保持该元素不动。
结合性（乘积的作用 = 先乘再作用 = 连续作用）：对任意 $g, h \in G$ 与 $s \in S$， $(g h) \cdot s \;=\; g \cdot (h \cdot s).$ 也就是说「先把两个群元素在群内相乘，再作用」的效果，与「先作用一次，再作用第二次」的效果完全一致。

满足上面两个条件的映射 $(g,s) \mapsto g \cdot s$ 本身也称为 $G$ 在 $S$ 上的群作用。

记号说明 · 为什么要用「点」把群作用记作 $g \cdot s$（或 $g s$，但必须知道上下文），而不是像群内乘法那样直接写 $gs$，是为了区分「群内部的二元运算」（两个元素都来自 $G$）与「群对集合的作用」（一个来自 $G$，另一个来自 $S$）。

群内部的乘法 $gh$：两个元素都在 $G$ 里；
群作用 $g \cdot s$：$g \in G$，$s \in S$，结果仍在 $S$ 里。

若上下文已经明确，可以简写为 $g s$（读作「$g$ 作用在 $s$ 上」），甚至直接写作 $g \cdot s$。只要保证「元素来自哪里」清楚，就不会有歧义。

右作用若把群元素放到右边来作用，写成 $(s, g) \mapsto s \cdot g$，并满足 $s \cdot 1_G = s$ 与 $(s \cdot g) \cdot h = s \cdot (g h)$（注意方向反转），则称为群 $G$ 在 $S$ 上的右作用。左作用与右作用是完全平行的概念，本课程默认讨论左作用。

1.3 $G$-集合 ⏱ 04:48

定义 · $G$-集合若集合 $S$ 上配备了群 $G$ 的一个左作用（即满足上面两条公理的映射 $G \times S \to S$），则称 $S$ 为一个 $G$-集合。

换句话说：先有作用，才有 $G$-集合。如果给定的映射不满足上面两条条件，$S$ 就不能称为 $G$-集合。以后若听到「$S$ 是一个 $G$-集合」，就立刻意味着：任取 $g \in G$、$s \in S$，它们之间的作用 $g \cdot s$ 一定满足单位元不动与结合性。

为什么这么定义？考虑一种特殊情况：把 $S$ 也取成一个群 $G$ 本身。这时 $G$ 内部本来就有乘法运算 $gh$。上面定义的两个条件保证了：即使把 $G$ 自身的乘法看作「群 $G$ 对集合 $G$ 的左作用」（即 $g \cdot x := g x$），也不会与 $G$ 内部原来的结合律、单位元、逆元等性质冲突：

条件一 $\Rightarrow$ 单位元不动：$1 \cdot x = 1 x = x$；
条件二 $\Rightarrow$ 结合律：$(g h) \cdot x = g h x = g \cdot (h \cdot x)$。

下面两个例子会直接验证这一点。

2群作用的基本例子 ⏱ 07:35

2.1 群对自身的左平移（regular action）⏱ 07:35

例 · 群 $G$ 对自身的左平移作用设 $G$ 为群，取集合 $S = G$ 本身。定义

g \cdot x \;:=\; g x, \qquad g, x \in G.

即 $g$ 对 $x$ 的作用就是在群内左乘 $g$。

验证它是群作用：

证明（点击展开）

条件一：单位元不动。对任意 $x \in G$，由群公理 $1 \cdot x = 1\, x = x$。✓

条件二：结合性。对任意 $g, h, x \in G$，由群公理中的结合律，

(g h) \cdot x = (g h) x = g (h x) = g \cdot (h \cdot x).

即「先相乘 $g, h$ 再作用」与「先让 $h$ 作用、再让 $g$ 作用」效果相同。✓

两条全满足，故 $g \cdot x = g x$ 是群 $G$ 对集合 $G$ 的左作用。这个作用称为群 $G$ 对自身的左平移（left translation）。

备注这个例子里的集合恰好取为群 $G$ 本身，但其实集合 $S$ 完全不必是群——它可以是任何一个集合。本例只是最简单的一个。

2.2 共轭作用（群对自身的共轭作用）⏱ 11:10

前面几讲在讨论正规子群、共轭类、共轭元素时其实已经在用这个作用了，只是当时还没有「群作用」这个统一名字。现在给它正式命名。

例 · 群 $G$ 对自身的共轭作用设 $G$ 为群，取集合 $S = G$ 本身。定义

a \cdot x \;:=\; a x a^{-1}, \qquad a, x \in G.

即 $a$ 对 $x$ 的共轭作用就是「左乘 $a$，再右乘 $a$ 的逆元」。

术语 · 共轭元形如 $a x a^{-1}$ 的元素称为 $x$ 的一个共轭元（conjugate）——左右两个元素必须互为逆元。$x$ 的所有共轭元构成的集合称为 $x$ 的共轭类。

验证它是群作用：

证明（点击展开）

条件一：单位元不动。对任意 $x \in G$，

1 \cdot x = 1\, x\, 1^{-1} = x.

✓

条件二：结合性。取 $g, h, x \in G$，由定义，左边

(g h) \cdot x = (g h)\, x\, (g h)^{-1}.

利用逆元的性质 $(g h)^{-1} = h^{-1} g^{-1}$，以及群内的结合律：

(g h)\, x\, (g h)^{-1} = g h\, x\, h^{-1} g^{-1} = g\,(h x h^{-1})\,g^{-1}.

中间部分 $h x h^{-1}$ 按定义正是 $h \cdot x$，再套一层：外层 $g\,(h x h^{-1})\,g^{-1}$ 正是 $g \cdot (h \cdot x)$。故

(g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x).

✓

共轭作用满足群作用的两条公理，因此它是群 $G$ 对集合 $G$ 的左作用。

2.3 群对陪集集合 $G/H$ 的左作用 ⏱ 15:39

下面把集合 $S$ 取为一个不是群的集合——陪集集合（陪集分解）。这也是「任意集合都能承载 $G$ 的左作用」的最典型例子。

例 · 群 $G$ 对陪集集 $G/H$ 的左作用设 $G$ 为群，$H$ 为 $G$ 的某个子群（对 $H$ 不做其他要求，哪怕不是正规子群也允许）。陪集集合

S = G/H = \{\, g H \mid g \in G \,\}

是所有左陪集 $gH$ 组成的集合，本身只是一个集合（$H$ 不是正规子群时 $G/H$ 一般不构成群）。定义 $a \in G$ 对陪集 $x H$ 的作用为

a \cdot (x H) \;:=\; (a x) H.

即把作用只加在陪集的代表元（左乘 $a$），陪集的右因子 $H$ 保持不动。

验证它是群作用：

证明（点击展开）

条件一：单位元不动。对任意陪集 $x H \in G/H$，

1 \cdot (x H) = (1 \cdot x) H = x H.

✓

条件二：结合性。取 $g, h \in G$ 与陪集 $x H \in G/H$：

(g h) \cdot (x H) = ((g h) x) H = (g (h x)) H = g \cdot ((h x) H) = g \cdot (h \cdot (x H)).

中间每一步用到群内结合律与「$h x$ 作为新代表元，陪集 $(h x)H$ 仍属于 $G/H$」。✓

注意这里的关键观察：$g \cdot (h \cdot (xH)) = g \cdot ((h x)H) = ((g(h x))H)$ 之所以有意义，是因为 $h x$ 仍然是 $G$ 中的元素，它作用在陪集上得到的还是陪集；$g$ 再次作用也仍在陪集集内。这个封闭性来自「$g \in G$，$h x \in G$，它们的乘积 $g(h x) \in G$，因此 $(g(h x))H$ 仍是 $G$ 的左陪集」。

Well-defined 的隐含说明这里要隐含地注意一件事：陪集 $xH$ 可能由不同的代表元表示（例如 $x' = x h_0$，$h_0 \in H$，则 $x' H = x H$）。上面定义的作用与代表元 $x$ 的选取无关：若取 $x' = x h_0$，则 $a \cdot (x' H) = a x h_0 H = (a x) H = a \cdot (x H)$。因此定义是 well-defined 的。这一点对后面「商群上的作用」尤其重要。

2.4 记号约定 ⏱ 19:42

因为反复写 $g \cdot x$（带点）太啰嗦，实际书写中常常直接写 $g x$ 来表示 $g$ 对 $x$ 的作用（读作「$g$ 作用在 $x$ 上」），或者写作 $g \bullet x$。
但必须对元素来自哪里保持敏感：
- $g, x$ 都来自群 $G$，$g x$ 是群内的乘法；
- $g \in G$、$x \in S$（集合 $S$），$g x$（即 $g \cdot x$）是 $G$ 对 $S$ 的群作用。
只要搞清楚「每个元素来自哪里」，省略点号就不会引起混淆。

3轨道（Orbit） ⏱ 21:19

定义 · $x$ 在 $G$ 作用下的轨道设 $G$ 为群，$S$ 为 $G$-集合（即 $G$ 在 $S$ 上有一个左作用）。对任意 $x \in S$，定义

\mathcal{O}(x) \;=\; G \cdot x \;=\; \{\, g \cdot x \mid g \in G \,\} \subseteq S.

即把群 $G$ 中所有元素依次作用在 $x$ 上所得到的结果集合，称为 $x$ 在 $G$ 作用下的轨道（orbit，英语 orbit，复数 orbits）。

观察 · 轨道是 $S$ 的子集合由群作用定义知 $g \cdot x \in S$（作用把 $S$ 映回 $S$），所以 $\mathcal{O}(x)$ 一定是 $S$ 的子集合。

若 $g \in G$，则 $\mathcal{O}(g \cdot x) = \mathcal{O}(x)$：把同一轨道的元素 $g x$ 再取轨道得到的是同一个轨道。
「元素 $x$ 和 $y$ 在同一轨道上」等价于「存在 $g \in G$ 使 $y = g \cdot x$」。

直觉轨道衡量「从 $x$ 出发，能靠群作用抵达的所有点」，是群作用下 $x$ 的可达范围。两个点之间的可达性由是否存在某个群元素实现这一变换决定。

4稳定子群（Stabilizer） ⏱ 23:28

定义 · $x$ 在 $G$ 中的稳定子群（固定子群）设 $G$ 为群，$S$ 为 $G$-集合。对任意 $x \in S$，定义

G_x \;=\; \operatorname{Stab}_G(x) \;=\; \{\, g \in G \mid g \cdot x = x \,\}.

即群 $G$ 中所有把 $x$ 固定不动的元素组成的集合，称为 $x$ 在 $G$ 中的稳定子群（stabilizer，也叫固定子群、点稳定子群；某些教材记作 $G_x$ 或 $\operatorname{Stab}_G(x)$；口语中有时也用「稳定化子」）。

命题 · 稳定子群是子群 ⏱ 27:04 对任意 $x \in S$，$G_x = \operatorname{Stab}_G(x)$ 是 $G$ 的一个子群。

证明（点击展开）

按子群判定标准：非空 + 封闭 + 逆元（或等价的两条）。

非空：由群作用第一条公理，$1 \cdot x = x$，所以 $1_G \in G_x$。

封闭性 + 逆元：取任意 $g, h \in G_x$，要证 $g h^{-1} \in G_x$，即证 $(g h^{-1}) \cdot x = x$。核心思路是：因为 $h \in G_x$，可证 $h^{-1} \in G_x$，于是 $(g h^{-1}) x = g (h^{-1} x) = g x = x$。先把 $h^{-1}$ 归入 $G_x$：

第一步，利用群作用公理「分解 $x$ 为 $1 \cdot x$」，再用结合律把 $1$ 写成 $h^{-1} h$：

x = 1 \cdot x = (h^{-1} h) \cdot x = h^{-1} \cdot (h \cdot x).

由于 $h \in G_x$，$h \cdot x = x$，所以

x = h^{-1} \cdot x,

即 $h^{-1} \in G_x$。

第二步，由 $g \in G_x$ 与 $h^{-1} \in G_x$，

(g h^{-1}) \cdot x = g \cdot (h^{-1} \cdot x) = g \cdot x = x,

其中两次用到「把连续作用用结合律拆开」的群作用公理 2。故 $g h^{-1} \in G_x$。

由子群判定，$G_x$ 是 $G$ 的子群。 ∎

要点 · 两个概念的「来源」必须记清楚两个概念的归属：

轨道 $\mathcal{O}(x)$：是 $S$ 的一个子集合（由 $x$ 生成）；
稳定子群 $G_x$：是 $G$ 的一个子群（由 $x$ 固定）。

一个是「集合里的区域」，一个是「群里的子结构」。

5轨道的等价关系与 $S$ 的划分 ⏱ 31:04

命题 · 轨道的「不相交则相同」性质设 $G$ 为群，$S$ 为 $G$-集合。对任意 $x, y \in S$：

\text{若 } \mathcal{O}(x) \cap \mathcal{O}(y) \neq \varnothing, \text{ 则 } \mathcal{O}(x) = \mathcal{O}(y).

即两个轨道要么完全相同，要么完全不交。

证明（点击展开）

需要证两个包含：$\mathcal{O}(x) \subseteq \mathcal{O}(y)$ 与 $\mathcal{O}(y) \subseteq \mathcal{O}(x)$。以下只证第一方向，第二方向对称（交换 $x, y$ 即得）。

假设：$\mathcal{O}(x) \cap \mathcal{O}(y) \neq \varnothing$。则存在某个 $u \in S$ 同时属于两个轨道：

u = g_1 \cdot x = g_2 \cdot y, \qquad g_1, g_2 \in G.

在两边「作用 $g_1^{-1}$」（用 $g_1^{-1} \cdot$ 作用于等式两边），由群作用公理 2：

g_1^{-1} \cdot u = g_1^{-1} \cdot (g_1 \cdot x) = (g_1^{-1} g_1) \cdot x = 1 \cdot x = x,

另一方面

g_1^{-1} \cdot u = g_1^{-1} \cdot (g_2 \cdot y) = (g_1^{-1} g_2) \cdot y,

于是

x = (g_1^{-1} g_2) \cdot y.

第一方向：对任意 $g \in G$，

g \cdot x = g \cdot \big((g_1^{-1} g_2) \cdot y\big) = (g g_1^{-1} g_2) \cdot y \in \mathcal{O}(y),

即 $\mathcal{O}(x) \subseteq \mathcal{O}(y)$。

第二方向：对称同理可得 $\mathcal{O}(y) \subseteq \mathcal{O}(x)$。故 $\mathcal{O}(x) = \mathcal{O}(y)$。 ∎

推论 · 轨道把 $S$ 划分为不相交的子集合 ⏱ 37:22 集合 $S$ 可以写成其所有轨道的并：

S \;=\; \bigcup_{x \in S} \mathcal{O}(x),

且这些轨道两两要么相同、要么不交（由上面的命题保证），因此实际上是把 $S$ 划分为若干个两两不交的非空子集合的并——这与前面讲陪集分解时「不同陪集要么相同、要么不交」的性质完全平行。

与「等价关系」的联系（预告）由上面命题可以定义 $S$ 上的等价关系 $x \sim y$ 当且仅当「$x$ 和 $y$ 在同一轨道」。这个等价关系正是群作用下的轨道等价关系。下一讲将在这个基础上引入更精细的工具——轨道—稳定子群定理（$|G| = |G_x| \cdot |\mathcal{O}(x)|$）以及它与 Lagrange 定理的类比。

★重点回顾

群作用 $G$ 在集合 $S$ 上的左作用 = 一个映射 $G \times S \to S$，满足「单位元不动」与「结合性（先乘再作用 = 连作两次）」两条公理。

集合 $S$ 配备了 $G$ 的一个左作用后称为 $G$-集合；「$S$ 是 $G$-集合」意味着 $S$ 上已经预定义好满足两条公理的作用。

三个基本例子：① 群 $G$ 对自身的左平移（$g \cdot x := g x$）；② 群 $G$ 对自身的共轭作用（$a \cdot x := a x a^{-1}$）；③ 群 $G$ 对陪集集 $G/H$ 的左作用（$a \cdot (x H) := (a x) H$）。

轨道 $\mathcal{O}(x) = G \cdot x = \{g \cdot x \mid g \in G\}$ 是 $S$ 的子集合；同一轨道内的元素可以相互通过群作用到达。

稳定子群 $G_x = \operatorname{Stab}_G(x) = \{g \in G \mid g \cdot x = x\}$ 是 $G$ 的子群（证明用 $h^{-1} \cdot x = x \Rightarrow g h^{-1} \in G_x$）。

轨道要么相同要么不交：若 $\mathcal{O}(x) \cap \mathcal{O}(y) \neq \varnothing$，则 $\mathcal{O}(x) = \mathcal{O}(y)$。因此轨道把 $S$ 划分为不相交的子集合——与陪集分解的思想完全平行。

「元素来自哪里」是关键：$(g h)\cdot x = g \cdot (h \cdot x)$ 中 $g, h$ 来自 $G$，$x$ 来自 $S$；共轭元 $a x a^{-1}$ 的左右元素必须互为逆元。

⚠易错点提醒

常见错误

把群内乘法 $g x$ 与群作用 $g \cdot x$ 混淆：前者两个元素都在 $G$ 中，结果仍在 $G$；后者 $g \in G$、$x \in S$，结果仍在 $S$。在陪集集 $G/H$ 上的作用里，$a$ 是群元素，$xH$ 是陪集（本身不是群元素），$a \cdot (x H) = (a x) H$ 仍是一个陪集。
验证群作用时漏掉「结合性」一条：只证了「单位元不动」就收工，忘了证 $(g h) \cdot s = g \cdot (h \cdot s)$。共轭作用里结合性的证明要用到 $(g h)^{-1} = h^{-1} g^{-1}$。
把 $G_x$ 当集合而不是子群：必须证明 $G_x$ 满足封闭性与逆元（用 $h^{-1} \cdot x = x$ 这一步很关键）。
轨道方向混淆：证明「两个轨道不交则相同」时，只证了一方向的包含就下结论；需要证 $\mathcal{O}(x) \subseteq \mathcal{O}(y)$ 与 $\mathcal{O}(y) \subseteq \mathcal{O}(x)$ 两个方向（虽然由对称性只差符号）。
在共轭作用里忘记左右必须互为逆元：形如 $a x b$ 但 $b \neq a^{-1}$ 的组合「不是共轭作用」，不满足群作用公理。
把「轨道是 $S$ 的子集合」与「稳定子群是 $G$ 的子群」的归属记反：这是最常见的概念混淆。
陪集集上作用的 well-defined 性：定义 $a \cdot (x H) = (a x) H$ 时，需要与代表元的选取无关——若 $x' = x h_0$，$h_0 \in H$，则 $(a x') H = (a x h_0) H = (a x) H$。

✎自测与作业

（基本验证）设 $G$ 为群，$H \le G$。证明：把 $H$ 的共轭类 $\{g H g^{-1} \mid g \in G\}$ 视为集合 $S$，群 $G$ 通过「共轭作用」（$a \cdot (g H g^{-1}) := (a g) H (a g)^{-1}$）在 $S$ 上有一个左作用。
（稳定子群计算）取 $G = S_3$（三元置换群），$S = \{1, 2, 3\}$（自然左右作用）。计算 $\mathcal{O}(1)$ 与 $G_1 = \operatorname{Stab}_{S_3}(1)$；验证 $|G| = |G_1| \cdot |\mathcal{O}(1)|$（轨道—稳定子群定理，为下一讲预告）。
（共轭作用）设 $G = Q_8$。证明共轭作用 $a \cdot x = a x a^{-1}$ 下，$\mathcal{O}(i) = \{i, -i\}$，$\mathcal{O}(1) = \{1\}$，$\mathcal{O}(-1) = \{-1\}$；并写出每个轨道对应的稳定子群。
（群 $G$ 对自身左平移）设 $G$ 为群，$S = G$。证明：左平移作用 $\mathcal{O}(x) = G$（只有一个轨道，平凡划分），且 $G_x = \{1\}$（只有单位元固定任何 $x$）。
（等价关系）设 $G$ 是 $S$ 上的群作用，定义 $x \sim y \iff$ 存在 $g \in G$ 使 $y = g \cdot x$。证明 $\sim$ 是 $S$ 上的等价关系，且其等价类恰为轨道。这相当于把本讲命题「轨道不交则相同」的视角「等价关系化」。
（结合性验证）直接证明：陪集集 $G/H$ 上 $G$ 的左作用满足 $(g h) \cdot (x H) = g \cdot (h \cdot (x H))$，并写出每一步所依据的公理。

下一讲预告第 15 讲：群对集合的作用 II——将在本讲基础上引入轨道—稳定子群定理（$|G| = |G_x| \cdot |\mathcal{O}(x)|$）及其重要推论（例如有限群作用的轨道和公式），以及二面体群 $D_n$ 对正 $n$ 边形顶点的作用等更具几何味道的例子。

第 14 讲 · 群对集合的作用 I

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◎学习目标

0课程引言 ⏱ 00:00

1群作用与 \(G\)-集合的定义 ⏱ 00:39

1.1 集合与群的关系

1.2 群作用的抽象定义

1.3 \(G\)-集合 ⏱ 04:48

2群作用的基本例子 ⏱ 07:35

2.1 群对自身的左平移（regular action）⏱ 07:35

2.2 共轭作用（群对自身的共轭作用）⏱ 11:10

2.3 群对陪集集合 \(G/H\) 的左作用 ⏱ 15:39

2.4 记号约定 ⏱ 19:42

3轨道（Orbit） ⏱ 21:19

4稳定子群（Stabilizer） ⏱ 23:28

5轨道的等价关系与 \(S\) 的划分 ⏱ 31:04

★重点回顾

⚠易错点提醒

✎自测与作业